《微积分的力量》3.第二部分

《微积分的力量》的读书笔记和读后感。好，我们刚刚说完了，公元前250年左右，微积分思想诞生的背景。但是，长路漫漫其修远兮，正如阿基米德在数学的无限性面前也感到了自己生命的有限性。他在自己的著作中最后提出的希望是：在现在和未来的几个世代中，某些人会利用这种方法，找到我们尚未掌握的其他定理。
那么，下一个谜题是什么？破解它的魔术师又在哪呢？
令人庆幸的是，对自然世界的数学研究，在经过了长达1800多年的沉寂之后，直到17世纪中期，随着代数学、物理学和几何学的发展壮大，微积分也从一种思想进化成了一种真正的数学语言，由此，人们解答了第二个谜题——运动之谜。
故事还得从17世纪早期说起，借助两股力量的催化，微积分才真正诞生。
第一股力量其实就是17世纪初，人们对运动的探索。
通过观察和巧妙的实验，数学家在最简单的运动物体中发现了背后的规律。伽利略测量了钟摆的来回摆动，记录了球滚下斜坡的加速过程，而开普勒绘制了行星在天空中的运行轨迹。在他们看来，这些现象都强化了大自然具有数学规律，就像毕达哥拉斯学派一直坚称的那样，万物皆数。
但是，这里面最大的难题就在于，运动是不稳定的。比如球在滚下斜坡的过程中，你会发现，速度一直在变；再比如行星围绕太阳旋转的过程中，靠近太阳时行星的运动速度会变得更快，远离太阳时它们的运动速度就会减慢。这些现象都很奇怪，那时，人们并不知道该如何处理这种不断变化的运动状态。
虽然，早期的数学家已经掌握了匀速运动的数学公式，距离等于速度乘以时间。但是，当速度这一个量改变，而且是持续不断地改变时，一切都变得不确定了。事实证明，运动之谜和曲线之谜一样，也是一座概念上的珠穆朗玛峰。人们无法用精准的数学语言来推导不断变化的运动，于是对于这些现象的看法，还只能停留在经验性总结的层面，运动之谜就这样暂时被搁置了。
第二股力量来源于，16世纪代数学的飞速发展。代数实际上源自亚洲和中东地区，传入欧洲之后，人们开始把代数学作为一种符号系统进行研究，他们用字母来代表数字。比如我们今天用xyz来表示未知量，用abc来表示常量。这种用字母表示数字的方法，使方程的变换和求解都变得容易了许多。
到了17世纪早期，数学家笛卡尔和费马实现了一个了不起的突破，他们把代数学和几何学联系在了一起，开创了一个新的数学学科，也就是我们今天所说的解析几何。数学方程都可以通过在一个横轴为x，纵轴为y的平面上，来用不同的曲线表示。
你可千万不要小瞧这个xy平面，我们今天所有需要定量的领域，基本上都是在用xy平面，来绘制数据图表和揭示变量之间隐藏的关系。我们可以通过xy平面上的曲线，直观地看出一个因素到底是怎么影响另一个因素的。
数学家笛卡尔和费马的研究为微积分的诞生奠定了坚实的数学基础。不过，遗憾的是，他们始终离运动之谜的答案还差那么一步。
直到17世纪中后期，英国的牛顿和德国的莱布尼茨的出现，彻底改变了数学的进程。他们把关于运动和曲线的思想联系在了一起，并且又用代数的方式建立了一个通用系统。就像是一个神来之笔，微积分由此正式诞生。
虽然我们今天学习的微积分版本，其实和莱布尼茨的版本有更多的关系，因为莱布尼茨的版本更简洁一些。但是今天的解读时间有限，我还是想重点给你说说，牛顿在这里面的贡献。牛顿解答了运动之谜。
首先，牛顿通过数学工具解决了运动问题，比如算一个物体的运动速度。举个现实生活中的例子。现在，我们需要计算，2008年北京奥运会100米短跑决赛场上，一位叫博尔特的短跑运动员，他的速度。那有人可能会说，这好算，我们拿100米除以博尔特的时间9.69秒，再换算成我们更熟悉的单位，大约是37千米/小时。
但是，显然，这是博尔特整场比赛的平均速度。如果你仔细观察的话，就会发现他在起跑时落后于其他选手，中间速度最快，然后快到终点的时候，他意识到自己已经领先了，速度又放慢下来。
如果我问你，博尔特的最快速度究竟是多少？恐怕我们很难拿平均速度来近似博尔特的瞬时速度。这就是我们前面说的运动难题。速度一直在变，人们很难有什么办法来计算瞬时速度。
不过在牛顿看来，虽然速度一直在变，但是我们可以假设，这个速度不停变化的运动，实际上是由无穷多个，无限短暂的匀速运动组成的。
这句话听上去实在是有点抽象，作者提到，你可以想象，自己正坐在一辆由新手司机驾驶的汽车里，车速忽快忽慢。但是在0.01秒内，即便是这个人技术再差，他也没法那么快地踩油门，速度就不会改变。那么，在比1毫秒短得多的时间间隔内，我们就可以把这个过程看成是一个匀速运动。所以，某个时刻的瞬间速度，其实我们可以假设，就是在这个时刻附近一个无穷小的时间内的平均速度。
平均速度我们当然会算。在这个想法的基础之上，牛顿就开始利用解析几何，用曲线来表示这种瞬间变化。假如在xy平面上，这是一条关于博尔特跑步距离的函数曲线。前面说过，我们如果放大视野中的曲线，曲线的弯曲度就会看上去越来越小，有点像是一段微小的斜坡。
现在我们要，求博尔特在7.2秒这个时刻的瞬时速度。那么，我们可以想象，这不就是等同于要求一个7.2秒这个时刻，附近0.01秒内的平均速度。平均速度等于距离除以时间，时间我们刚刚已经规定好了，是0.01秒。
这个时候，在xy平面中，你就会发现，一个求速度的问题，被转化成了几何学中求斜坡的斜率。在xy平面上，速度等于一个垂直高度Δy除以水平长度Δx。
那如果我们把0.01秒时间范围再缩小一些，当时间t慢慢趋近于0的时候，7.2秒的瞬时速度就相当于，曲线在7.2秒那个时间点的一条切线斜率。这个中间的计算过程有点复杂，我们就不在这多做讨论了。
不过，话说回来，微分，求瞬时速度是一种局部操作。作者提到，这种局部操作，就像是在显微镜下观察事物一样，我们需要用到的信息，也就是博尔特在给定时刻前后的几百分之一或更少秒内的运动情况。相比之下，如果我们拿到一个博尔特在100米过程中，所有瞬时速度的无限长的表格，并且要计算出他在7.2秒时的位置是在哪，那就摊上麻烦了。
因为利用公式：速度×时间=距离。我们会发现，计算只能是，博尔特从起点出发，每次以0.01秒累积的时间在赛道上前进，这种计算方式既费时又费力。所以，从局部推测出整体的难度之大，也是为什么在我们学习过程中，常常感觉积分比微分更难的地方。微分是一种局部操作，而积分则是一种整体操作。我们需要计算每一个微小的部分，才能得到一个关于遥远未来的期望答案。
那有没有什么方法能够提供捷径呢？这就要说到，牛顿做的第二件事。
牛顿把关于距离的问题，转换成了求面积的问题。曲线面积我们会算，那如果我们有一条关于速度的函数曲线，那这条函数曲线下方，从时刻0累积到某个时刻t的面积，就等于物体在t小时后运动的距离。
这就是关于微积分的基本定理，由微分推导出积分，我们就找到了捷径。
要知道，牛顿的伟大之处就在于，在17世纪的欧洲，按照几何学的惯例，人们实际上是把面积看作对形状的一种静态度量，没有人会想到，面积和运动有什么关系。而牛顿把面积看作一个随着时间流动或变化的量。这是非常了不起的一次思维上的突破。
由此，牛顿破解了运动之谜。在他看来，任何类型的运动都可以分解成每次移动一个无穷小步。不光是解释速度这一个变量，哪怕是速度、方向好几个变量同时影响物体的运动状态，牛顿仅用几个微分方程，也能够解释，包括炮弹的飞行轨迹和行星的运行轨道在内的各种现象。作者在书中提到，微积分正式诞生后，数学的基本语言就有了，数学领域的多样性也就开始进化产生。