《深奥的简洁》3.秩序衍生混沌

关于这一点的发现,要说到我们的一个老朋友了,达·芬奇在他那个时候,就曾经发现过这个有趣的状况。达·芬奇在500年前就注意到,一个从石头背后离开往下流的漩涡,并非凭空消失。它先是分解成较小的漩涡,然后每个小涡流又再分解成更小的涡流。在无止境的分流过程中,产生涡流中的涡流中的涡流通向混沌的道路,似乎涉及在无限小尺度下的无限随机作用,至少对乱流的例子是这样。

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我们在别处能否找到类似的例子呢?答案当然是肯定的,你们有没有注意过那个肥皂,你洗完了以后上面有很多的泡,而然后你如果仔细去观察那个泡破灭的那个过程,就是一个大泡,嘭,变成几个小泡;几个小泡再变,嘭,变成很多个小泡,然后越来越多的小泡,越来越多的小泡。它就是经过一个相对漫长的时间,一点点破裂一点点破裂,然后大泡变小泡这样慢慢变下去。这个跟这个涡流是一样的一个道理,就是极限循环的吸引子。

在1975年的时候,约克和李天岩,这可能是一个中国籍的科学家,他们发表了一篇文章叫作《周期三蕴含混沌》这个论文,在这个文章当中混沌因此得名。就是从这篇文章开始,1975年,人们开始重视和研究混沌这件事。米切尔·费根鲍姆指出,无论是生物族群的大小、电路的震荡、化学反应的震荡,甚至是经济表现的起伏循环,重点只在于系统必须自我引用,如果符合这个条件,那么系统将会按照同一路径,确实地走向混沌,而不是近似地走向混沌。

这里边重点,别的听不懂不要紧,听到自我引用这件事就知道了。就是混沌系统当中,一定要有自我引用的这个现象。就好像我们说幂次法则,就是为什么一个公司能够做成指数型的公司,因为第一次发展的结果是第二次发展的基础,这是叫自我引用。我迈出一步,我再迈出第二步,假如我迈出的第二步和第一步没关系,那就是线性的活动;但是假如我迈出的第二步一定比第一步大一倍,那就是自我引用。所以一旦产生了自我引用,最终就会走向混沌的这个方向。

同年在1975年分形也被提出来了,提出分形的这个人鼎鼎有名,叫作曼德博。曼德博他说什么叫分形,分形实际上就是碎裂的不规则的石头。我给大家讲讲分形的这个例子,大家就明白什么叫分形了。这里边有一个最简单的分形叫康托尔集合,大家看这幅图,有点像中国《易经》当中的那些爻。就是你把一根线段抹去中间的1/3,那它变成两根线段,把这两根线段又分别抹去中间的1/3,它就变成4根线段,这4根线段再分别抹去中间的1/3,就变成了8根线段。然后每个都抹去中间的1/3,最后它就会变成一系列的点,而它们是完全相似的这种形状,这个就叫作康托尔集合。

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康托尔集合

这是一个最简单的分形,那你说这有什么意思呢?我们来看一个相对复杂一点的,接下来这个叫作谢尔宾斯基三角形,谢尔宾斯基三角形这里边可以有一个很好玩的游戏,大家可以在家里边玩。这是一个黑色的三角形,那么我们在这个黑色三角形当中,倒着再做一个白色的三角形,那就变成了第二个,就抠出来了一个白色的三角形,然后就形成了三个黑色三角形,然后三个黑色三角形当中,都分别抠出一个白色的倒三角形,那就变成了更多的黑色三角形。然后我们在每一个黑色三角形当中——你看自我引用同样的方式——不断地在黑色三角形当中,抠出一个倒的白色三角形,最后所形成的这个缤纷的花纹,这个就叫作谢尔宾斯基三角形。

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谢尔宾斯基三角形

那你说它的神奇之处在哪儿呢?你回家可以做一个实验,这个实验太神奇了,你用笔拿一支铅笔,然后在本子上画出一个正三角形。画出一个正三角形之后,在这个纸上任意一个地方点一个点,随便一个地方点一个点,然后这个三角形的三个顶点,分别叫123,然后外边的这个点你把它叫作0,这时候你去准备一个骰子,骰子6个面,你把(骰子的)4改成1、5改成2、6改成3,那这样的话这个骰子可以公平地给出,123这三个数字。为什么要用骰子,就是要保证它的随机性。

接下来你就把这个骰子一扔,如果这个骰子出现的是2,那么你就在0点和2点之间的中间选一个点,这个点我们把它叫作4,第四个点了;然后再随便甩一个骰子,这个骰子假如出来的是3,那么你就在这个新的4点和3点之间,中间找一个点,叫作5,然后再骰;骰完以后如果这个又是2,那么就最新的这个5点和2之间的中点,点一个点叫作6;终于骰到1了,那就在6和1之间找一个点7。好了,就是把一个三角形,然后周围不断地找12345这么去选这个点。

你要有足够的耐心,要扔很多下骰子,扔到最后你会发现神奇的现象就是,这些点最终会被吸引到这个谢尔宾斯基三角形当中去,就是它们会构成谢尔宾斯基三角形的这个图案。这里边要注意的就是你要有足够的耐心,而且你得保证它一定是随机的,甚至这个作者说,你都不要去轻易尝试计算机,因为计算机给出的未必是一个真正的随机数,就是用扔骰子的方法就可以看到这个谢尔宾斯基三角形浮现出来。

那你说为什么呢?数学。这就是大自然给我们透露秘密的地方。

那接下来你说这跟自然有什么关系?你没觉得自然当中的很多花纹很多图案很多形状都有规律吗?比如说我们看一下这个分形,就是当我们改变这个分形的公式,改变那个规则,就可以出现完全不同的形状。比如说下面这个叫作羊齿草分形图案,这种图案在森林当中到处可见,就是我们看到很多的树都是长成这样的叶子,这就是一种分形图案,而这种分形图案是用一个公式,然后不断地自我引用不断地迭代做出来,这个就叫作分形。

后来有一个科学家叫科赫,科赫做出了一个科赫曲线。什么叫科赫曲线呢?找一根直直的线,把这个直直的线分成四段,别分开,分成四段,然后挤一下,一个倒的v字就出现了,这是一个倒v字的一个形状。然后你再把这每一个倒v字的,每一个边这不是直的吗,分成四段,再挤一下,慢慢地挤成什么样了呢?就是当你把这个v字型,不断地挤下去的时候,第一步是倒v字型,第二步仿佛出现了一个大卫星,然后第三步就像枫叶,第四步……然后足够多的时候就变成了雪花的样子,这个就叫作科赫图形。

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科赫曲线

这个科赫曲线非常重要,因为据说海岸线,人类的海岸线测不准,原因就是海岸线就是这种科赫曲线,它是通过天然的这种演化,然后折叠折叠折叠折叠成现在这个样子,那为什么测不准呢?就在于选取的尺度不一样。假如你以100米为一个单位来测量这个海岸线的话,那你就忽略了中间大量的小于100米的拐弯;那假如你把这个尺度界定成50米,那你就忽略了大量小于50米的拐弯。所以这个数字可以相差极大,就在于你把那个尺度限定到多么细微,这就是科赫曲线所带来的这个影响。

我们的海岸线测不准它的具体的长度,那同样,跟我们的身体也有这样的联系,大家能够想到什么?我们的身体内具备的分形,比如说我们的动脉和静脉,尤其是我们的肾脏上的这个血管。它怎么样能够在我们的体内不占据那么大的空间,但是起到那么大的作用,然后能够分布到全身需要的这种地方?这个是非常神奇的事。也就是说,大自然在创造我们这些物种的时候,它是有数学规律的。这些简单的数学规律,通过自我引用和不断地迭代,最后形成了我们今天这样复杂多样性的完全不同的结果。

那接下来我们就要到了见证奇迹的时刻了,这个有趣的情况都发生在混沌的边缘。也就是说,将进入混沌未进入混沌的那一刻是发生变化的时刻。这里边有一个很著名的例子,就是你看那个沙堆叫沙堆实验,一个沙堆堆在这儿,然后你朝那个沙堆上撒沙子。那一开始这个沙子就不动了,就是一直撒一直撒它一直增长,然后总有那么一刻出现沙崩,出现沙崩的那一刻其实你只扔下去的几粒沙子,但这几粒沙子,跟周围的一些沙子发生了作用,打破了过去的平衡,沙崩,往下走,然后形成了新的平衡,继续再撒又不动了。这个边缘的状态,就是最有趣的值得研究的地方,这就是混沌的边缘。

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